Wendepunkt

Einschnitt; Zäsur; Bruch; Unterbrechung; Wende; Umkehrpunkt

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Wẹn|de|punkt 〈m. 1〉

1. Punkt, an dem sich etwas wendet

2. 〈Math.〉 Punkt einer Kurve, in dem diese die Richtung wechselt

3. 〈fig.〉 Zeitpunkt, an dem ein Umschwung, eine Änderung eintritt

● der \Wendepunkt einer Entwicklung; der \Wendepunkt im Drama, in der Geschichte; in seinem Leben an einem \Wendepunkt angelangt sein

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Wẹn|de|punkt, der:

1. Zeitpunkt, zu dem eine ↑ ¹Wende (1 a) eintritt:

ein W. der Geschichte;

der W. in seinem Leben.

2.

a) (Math.) Punkt einer Kurve, an dem eine Richtungsänderung eintritt;

b) (Astron.) Solstitialpunkt.

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Wendepunkt,

 

Mathematik: ein Punkt einer Kurve, in dem ihre Krümmung das Vorzeichen ändert. Ist f : I → ℝ eine Funktion und a ein innerer Punkt von I ⊂ ℝ, so ist (a, f (a)) ein Wendepunkt der durch f definierten Kurve I → ℝ², x → (x, f (x)), beziehungsweise a ein Wendepunkt von f, falls eine δ-Umgebung von a existiert, sodass f auf [a — δ, a] konvex und auf [a, a + δ ] konkav ist oder umgekehrt. Ist f differenzierbar, so ist f genau dann konvex beziehungsweise konkav auf J ⊂ I, falls die Ableitung f ' von f auf J monoton steigt beziehungsweise fällt. Ist f darüber hinaus in a zweimal differenzierbar, so ist f '' (a) = 0 eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunkts von f in a, denn in diesem Fall besitzt f ' in a ein lokales Extremum. Hinreichend dafür, dass f in a einen Wendepunkt besitzt, ist die zweimalige Differenzierbarkeit von f auf I, die n-malige Differenzierbarkeit von f in a, wobei n eine ungerade Zahl ist, und

 

Beispielsweise besitzt f (x) = x³ in x = 0 einen Wendepunkt, denn f '' (0) = 0 und f ''' (0) = 6. Die Tangente x → f (a) + f ' (a) (x —a) an den Graphen von f im Wendepunkt (a, f (a)) heißt Wendetangente von f in a.

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Wẹn|de|punkt, der: 1. Zeitpunkt, zu dem eine Wende (1) eintritt: ein W. der Geschichte; der W. in seinem Leben; er war an einem W. angelangt. 2. Punkt, an dem eine Richtungsänderung eintritt, sich etw. in die entgegengesetzte Richtung wendet: der nördliche, südliche W. der Sonne; (Math.:) der W. einer Kurve.